5 De zin is een waarheidsfunctie van elementaire zinnen

• 5   De zin is een waarheidsfunctie van elementaire zinnen
• 5.1 De waarheidsfuncties laten zich in reeksen ordenen
• 5.2 De structuren van de zinnen staan in interne betrekkingen tot elkaar
• 5.3 Alle zinnen zijn resultaten van waarheidsoperaties met de elementaire zinnen
• 5.4 Hier toont het zich, dat er geen ‘logische voorwerpen’, ‘logische constanten’ (in de zin van Frege en Russell) zijn
• 5.5 Elke waarheidsfunctie is een resultaat v.d. successieve toepassing v.d. operatie (− − −W)(_, . . .) op elementaire zinnen
• 5.6 De grenzen van mijn taal beduiden de grenzen van mijn wereld

---

 

.

De zin is een waarheidsfunctie van elementaire zinnen.

• • • • (De elementaire zin is een waarheidsfunctie van zichzelf.)
• 5.01 De elementaire zinnen zijn de waarheidsargumenten van de zin.
• 5.02 Het is gemakkelijk, de argumenten van functies met indices van namen te verwarren. Ik herken namelijk zowel aan het argument als aan de index de beduiding van de hen bevattende tekens. In Russells ‘+c’ is bijvoorbeeld ‘c’ een index, die erop attent maakt, dat het gehele teken het optelteken voor kardinaalgetallen is. Maar deze aanduiding berust op een willekeurige overeenkomst en men zou in plaats van ‘+c’ ook een eenvoudig teken kunnen kiezen; in ‘_ p’ echter is ‘p’ geen index, maar een argument: de betekenis van ‘_ p’ kan niet begrepen worden, zonder dat daarvoor de betekenis van ‘p’ begrepen is. (In de naam Julius Caesar is ‘Julius’ een index. De index is steeds een deel van een beschrijving van het voorwerp, aan de naam waarvan wij hem hangen. Bijvoorbeeld: De Caesar uit het geslacht Julius.) De verwarring van argument en index ligt, als ik mij niet vergis, ten grondslag aan Frege’s theorie van de beduiding van zinnen en functies. Voor Frege waren de zinnen van de logica namen, en hun argumenten de indices van deze namen.

---

 

.

5.1 De waarheidsfuncties laten zich in reeksen ordenen.

• • • • Dat is het fundament van de waarschijnlijkheidsleer.
  • 5.101 De waarheidsfuncties van elk aantal elementaire zinnen laten zich in een schema van de volgende soort opschrijven:
    • • Die waarheidsmogelijkheden van zijn waarheidsargumenten, die de zin waar maken, wil ik zijn waarheidsgronden noemen.
• 5.11 Zijn de waarheidsgronden, die een aantal zinnen gemeenschappelijk zijn, tezamen ook de waarheidsgronden van een bepaalde andere zin, dan zeggen wij, de waarheid van deze zin volgt uit de waarheid van de andere zinnen.
• 5.12 In het bijzonder volgt de waarheid van een zin ‘p’ uit de waarheid van een andere zin ‘q’, wanneer alle waarheidsgronden van de tweede zin ook waarheidsgronden van de eerste zijn.
  • 5.121 De waarheidsgronden van de ene zijn in die van de andere bevat; p volgt uit q.
  • 5.122 Volgt p uit q, dan is de betekenis van ‘p’ in de betekenis van ‘q’ bevat.
  • 5.123 Wanneer God een wereld schept, waarin bepaalde zinnen waar zijn, dan schept hij daarmee ook een wereld, waarin alle zinnen kloppen die uit hen volgen. En overeenkomstig zou hij geen wereld kunnen scheppen, waarin de zin ‘p’ waar is, zonder al zijn voorwerpen te scheppen.
  • 5.124 De zin bevestigt elke zin die uit hem volgt.
    • 5.1241 ‘p.q’ is een van de zinnen, die ‘p’ bevestigen en tegelijkertijd een van de zinnen, die ‘q’ bevestigen. Twee zinnen zijn aan elkaar tegengesteld, indien er geen betekenisvolle zin is, die hen beiden bevestigt. Elke zin die een ander tegenspreekt, ontkent hem.
• 5.13 Dat de waarheid van een zin uit de waarheid van andere zinnen volgt, zien wij aan de structuur van de zinnen.
  • 5.131 Volgt de waarheid van een zin uit de waarheid van een andere, dan drukt dit zich door betrekkingen uit, waarin de vormen van deze zinnen tot elkaar staan; en weliswaar hoeven wij ze niet eerst in deze betrekkingen te zetten, door ze in een zin met elkaar te verbinden, maar deze betrekkingen zijn intern en bestaan zodra, en doordat, deze zinnen bestaan.
    • 5.1311 Wanneer wij vanuit p_q en _ p tot q concluderen, dan is hier door de schrijfwijze de betrekking tussen de zinsvormen van ‘p_q’ en ‘_ p’ verhuld. Schrijven wij echter bijvoorbeeld in plaats van ‘p _ q’ ‘p|q.|.p|q’ en in plaats van ‘_ p’ ‘p|p’ (p|q = noch p, noch q), dan wordt hun innerlijke samenhang duidelijk. (Dat men uit (x).fx fa kan concluderen, dat toont, dat de algemeenheid ook in het symbool ‘(x).fx’ voorhanden is.)
  • 5.132 Volgt p uit q, dan kan ik uit q tot p concluderen; p uit q afleiden. De aard van de gevolgtrekking is alleen uit de beide zinnen te halen. Slechts zij zelf kunnen de gevolgtrekking rechtvaardigen.  ‘Gevolgtrekkingswetten’, welke – zoals bij Frege en Russell – de gevolgtrekkingen rechtvaardigen moeten, zijn zinloos en overbodig.
  • 5.133 Al het gevolgtrekken geschiedt a priori.
  • 5.134 Uit een elementaire zin laat zich geen andere afleiden.
  • 5.135 Op geen enkele wijze kan uit het bestaan van een of andere situatie het bestaan van een daarvan volstrekt verschillende situatie afgeleid worden.
  • 5.136 Een causaal verband, dat zo’n gevolgtrekking rechtvaardigt, bestaat niet.
    • 5.1361 De gebeurtenissen van de toekomst kunnen wij niet uit de tegenwoordige afleiden. Het geloof aan het causale verband is het bijgeloof.
    • 5.1362 De vrijheid van de wil bestaat daarin, dat toekomstige handelingen nog niet gekend kunnen worden. Slechts dan zouden we hen kunnen weten, wanneer de causaliteit een innerlijke noodzakelijkheid zou zijn, zoals die van de logische gevolgtrekking. – De samenhang van kennen en het gekende, is die van de logische noodzakelijkheid. (‘A weet, dat p het geval is’ is betekenisloos, wanneer p een tautologie is.)
    • 5.1363 Wanneer daaruit, dat een zin ons helder wordt, niet volgt, dat hij waar is, dan is het helder worden ook geen rechtvaardiging van ons geloof in zijn waarheid.
• 5.14 Volgt de ene zin uit de andere, dan zegt de tweede meer dan de eerste, de eerste minder dan de tweede.
  • 5.141 Volgt p uit q en q uit p, dan zijn zij een en dezelfde zin.
  • 5.142 De tautologie volgt uit alle zinnen: zij zegt niets.
  • 5.143 De contradictie is het gemeenschappelijke van de zinnen, wat geen enkele zin met een ander gemeen heeft. De tautologie is het gemeenschappelijke van alle zinnen, die niets met elkaar gemeen hebben. De contradictie verdwijnt zogezegd buiten, de tautologie binnen alle zinnen. De contradictie is de uiterste grens van de zinnen, de tautologie hun substantieloze middelpunt.
• 5.15 Is Wr het aantal waarheidsgronden van de zin ‘r’, Wrs het aantal van die waarheidsgronden van de zin ‘s’, die tegelijk waarheidsgronden van ‘r’ zijn, dan noemen wij de verhouding: Wrs : Wr de maat van de waarschijnlijkheid, die de zin ‘r’ de zin ‘s’ geeft.
  • 5.151 Zij in een schema zoals hierboven in nummer 5.101 Wr het aantal ‘W’s in zin r; Wrs het aantal van die ‘W’s in zin s, die in dezelfde kolommen als ‘W’s van de zin r staan. De zin r geeft dan de zin s de waarschijnlijkheid: Wrs : Wr.
    • 5.1511 Er is geen bijzonder voorwerp, dat de waarschijnlijkheidszinnen eigen zou zijn.
  • 5.152 Zinnen, die geen waarheidsargumenten met elkaar gemeen hebben, noemen wij van elkaar onafhankelijk. Twee elementaire zinnen geven elkaar de waarschijnlijkheid 1 2 . Volgt p uit q, dan geeft de zin ‘q’ de zin ‘p’ de waarschijnlijkheid 1. De zekerheid van de logische gevolgtrekking is een grensgeval van de waarschijnlijkheid. (Toepassing op tautologie en contradictie.)
  • 5.153 Een zin is op zich noch waarschijnlijk, noch onwaarschijnlijk. Een gebeurtenis vindt plaats, of hij vindt niet plaats, een middenweg bestaat niet.
  • 5.154 Laten in een urn evenveel witte als zwarte balletjes zitten (en geen andere). Ik neem het ene balletje na het andere, en leg ze weer in de urn terug. Dan kan ik door deze proef vaststellen, dat de aantallen van getrokken zwarte en witte balletjes elkaar bij voortgezet trekken naderen. Dat is dus geen wiskundig feit. Wanneer ik nu zeg: Het is even waarschijnlijk, dat ik een wit, als dat ik een zwart balletje zal trekken, dan betekent dat: Alle mij bekende omstandigheden (de hypothetisch aangenomen natuurwetten inbegrepen) geven het plaatsvinden van de ene gebeurtenis niet meer waarschijnlijkheid dan dat van de andere gebeurtenis. Dat wil zeggen, ze geven – zoals gemakkelijk uit de bovenstaande verklaringen te halen is – beide de waarschijnlijkheid 1 2 . Wat ik door de proef bevestig, is, dat het plaatsvinden van de beide gebeurtenissen van de omstandigheden, die ik verder niet ken, onafhankelijk is.
  • 5.155 De eenheid van de waarschijnlijkheidszin is: De omstandigheden – die ik overigens verder niet ken – geven het plaatsvinden van een bepaalde gebeurtenis die en die graad van waarschijnlijkheid.
  • 5.156 Dus is de waarschijnlijkheid een generalisatie. Zij houdt een algemene beschrijving van een zinsvorm in. Slechts bij gebrek aan zekerheid gebruiken wij de waarschijnlijkheid. – Wanneer wij een feit weliswaar niet volkomen kennen, maar wel iets over zijn vorm weten. (Een zin kan weliswaar een onvolledig beeld van een zekere situatie zijn, maar hij is altijd een volledig beeld.) De waarschijnlijkheidszin is als het ware een extract uit andere zinnen.

---

 

.

5.2 De structuren van de zinnen staan in interne betrekkingen tot elkaar.

• 5.21 Wij kunnen deze interne betrekkingen daardoor in onze uitdrukkingswijze op de voorgrond plaatsen, dat wij een zin als resultaat van een operatie uitbeelden, die hem uit andere zinnen (de basis van de operatie) voortbrengt.
• 5.22 De operatie is de uitdrukking van een betrekking tussen de structuren van haar resultaat en haar basis.
• 5.23 De operatie is dat, wat met de ene zin gebeuren moet, om uit hem de andere te maken.
  • 5.231 En dat zal natuurlijk van hun formele eigenschappen, van de interne gelijkenis van hun vormen afhangen.
  • 5.232 De interne relatie, die een reeks ordent, is equivalent met de operatie door welke de ene term uit de andere ontstaat.
  • 5.233 De operatie kan pas daar optreden, waar een zin op logisch betekenisvolle wijze uit een andere ontstaat. Dus daar, waar de logische constructie van de zin begint.
  • 5.234 De waarheidsfuncties van elementaire zinnen zijn resultaten van operaties, die de elementaire zinnen als basis hebben. (Ik noem deze operaties waarheidsoperaties.)
    • 5.2341 De betekenis van een waarheidsfunctie van p is een functie van de betekenis van p. Ontkenning, logische optelling, logische vermenigvuldiging, etc., etc. zijn operaties. (De ontkenning keert de betekenis van de zin om.)
• 5.24 De operatie toont zich in een variabele; zij toont, hoe men van de ene vorm van zinnen tot een andere geraken kan. Zij brengt het verschil van de vormen tot uitdrukking. (En het gemeenschappelijke van de basis en het resultaat van de operatie is juist de basis.)
  • 5.241 De operatie duidt geen vorm aan, maar slechts het verschil van de vormen.
  • 5.242 Dezelfde operatie, die ‘q’ uit ‘p’ maakt, maakt uit ‘q’ ‘r’ enzovoort. Die kan slechts daarin uitgedrukt zijn, dat ‘p’, ‘q’, ‘r’, enzovoort variabelen zijn, die zekere formele relaties algemeen tot uitdrukking brengen.
• 5.25 Het bestaan van de operatie karakteriseert de betekenis van de zin niet. De operatie spreekt immers niets uit, slechts haar resultaat, en dit hangt van de basis van de operatie af. (Operatie en functie mogen niet met elkander verwisseld worden.)
  • 5.251 Een functie kan niet haar eigen argument zijn, wel echter kan het resultaat van een operatie haar eigen basis worden.
  • 5.252 Slechts zo is het voortschrijden van term tot term in een vormenreeks (van type tot type in de hiërarchieën van Russell en Whitehead) mogelijk. (Russell en Whitehead hebben de mogelijkheid van dit voortschrijden niet toegegeven, maar steeds opnieuw van haar gebruik gemaakt.)
    • 5.2521 De voorgezette toepassing van een operatie op haar eigen resultaat noem ik haar successieve toepassing (‘O0O0O0a’ is het resultaat van de driemalige successieve toepassing van ‘O0_’ op ‘a’). In een gelijksoortige zin spreek ik van de successieve toepassing van meerdere operaties op een aantal zinnen.
    • 5.2522 De algemene term van een vormenreeks a, O0a, O0O0a, . . . schrijf ik bijgevolg zo: ‘[a, x,O0x]’. Deze haakjesuitdrukking is een variabele. De eerste term van de haakjesuitdrukking is het begin van de vormenreeks, het tweede de vorm van een willekeurige term x van de rij en het derde de vorm van die term van de reeks, die op x onmiddellijk volgt.
    • 5.2523 Het begrip van de successieve toepassing van de operatie is equivalent met het begrip ‘enzovoort’.
  • 5.253 Een operatie kan de uitwerking van een andere terugdraaien. Operaties kunnen elkaar opheffen.
  • 5.254 De operatie kan verdwijnen (bijvoorbeeld de ontkenning in ‘__ p’ __ p = p).

---

5.3 Alle zinnen zijn resultaten van waarheidsoperaties met de elementaire zinnen.

• • • De waarheidsoperatie is de manier waarop uit de elementaire zinnen de waarheidsfunctie ontstaat. Naar het wezen van de waarheidsoperatie ontstaat op dezelfde wijze als uit de elementaire zinnen hun waarheidsfunctie, uit waarheidsfuncties een nieuwe. Elke waarheidsoperatie brengt uit waarheidsfuncties van elementaire zinnen opnieuw een waarheidsfunctie van elementaire zinnen voort, een zin. Het resultaat van elke waarheidsoperatie met de resultaten van waarheidsoperaties met elementaire zinnen is opnieuw het resultaat van een waarheidsoperaties met elementaire zinnen. Elke zin is het resultaat van waarheidsoperaties met elementaire zinnen.
• 5.31 De schema’s van nummer 4.31 hebben ook dan een beduiding, wanneer ‘p’, ‘q’, ‘r’, etc. geen elementaire zinnen zijn. En het is gemakkelijk te zien, dat het zin-teken in nummer 4.42, ook wanneer ‘p’ en ‘q’ waarheidsfuncties van elementaire zinnen zijn, een waarheidsfunctie van elementaire zinnen uitdrukt.
• 5.32 Alle waarheidsfuncties zijn resultaten van de successieve toepassing van een eindig aantal waarheidsoperaties op de elementaire zinnen.

 

 

.

5.4 Hier toont het zich, dat er geen ‘logische voorwerpen’, ‘logische constanten’ (in de zin van Frege en Russell) zijn.

• 5.41 Want: Alle resultaten van waarheidsoperaties met waarheidsfuncties zijn identiek, die een en dezelfde waarheidsfunctie van elementaire zinnen zijn.
• 5.42 Dat _, _, etc. niet betrekkingen in de zin van recht en links etc. zijn, is duidelijk. De mogelijkheid van het kruiselings definiëren van de logische ‘oertekens’ van Frege en Russell toont al, dat deze geen oertekens zijn, en bovenal, dat ze geen relaties aanduiden. En het is duidelijk, dat het ‘_’, dat wij door ‘_’ en ‘_’ definiëren, identiek is met dat, waardoor wij ‘_’ met ‘_’ definiëren en dat deze ‘_’ met de eerste identiek is. Enzovoort.
• 5.43 Dat uit een feit p oneindig veel andere volgen moeten, namelijk __ p, ____ p, etc., is toch van tevoren nauwelijks te geloven. En niet minder merkwaardig is, dat het oneindige aantal zinnen van de logica (van de wiskunde) uit een half dozijn ‘grondwetten’ volgt. Alle zinnen van de logica zeggen echter hetzelfde. Namelijk niets.
• 5.44 De waarheidsfuncties zijn geen materiële functies. Wanneer men bijvoorbeeld een bevestiging door een dubbele ontkenning kan voortbrengen, is dan de ontkenning – op de een of andere manier – in de bevestiging bevat? Ontkent ‘__ p’ _ p, of bevestigt het p; of beide? De zin ‘__ p’ gaat niet over de ontkenning alsof over een voorwerp; wel echter is de mogelijkheid van de ontkenning in de bevestiging al voorondersteld.
• En zou er een voorwerp zijn, dat ‘_’ heette, dan zou ‘__ p’ iets anders moeten zeggen dan ‘p’. Want de ene zin zou nu eenmaal over _ gaan, de andere niet.
  • 5.441 Dit verdwijnen van de schijnbare logische constanten treedt ook op, wanneer ‘_ (9x). _ fx’ hetzelfde zegt als ‘(x).fx’, of ‘(9x).fx.x = a’ hetzelfde als ‘fa’.
  • 5.442 Wanneer ons een zin gegeven is, zo zijn met hem ook reeds de resultaten van alle waarheidsoperaties, die hem als basis hebben, gegeven.
• 5.45 Zijn er logische oertekens, dan moet een juiste logica hun positie ten opzichte van elkaar helder maken en hun bestaan rechtvaardigen. De bouw van de logica uit haar oertekens moet helder worden.
  • 5.451 Had de logica grondbegrippen, zo zouden zij van elkaar onafhankelijk moeten zijn. Is een grondbegrip ingevoerd, dan moet het in alle verbindingen ingevoerd zijn, waarin het maar voorkomt. Men kan het dus niet eerst voor een verbinding, en dan nogmaals voor een andere invoeren. Bijvoorbeeld: Is de ontkenning ingevoerd, dan moeten wij haar thans in zinnen van de vorm ‘_ p’ net zo begrijpen, als in zinnen zoals ‘_ (p _ q)’, ‘(9x). _ fx’ e.a. Wij mogen haar niet eerst voor de ene klasse van gevallen, dan voor de andere invoeren, want dan zou het twijfelachtig blijven, of haar beduiding in beide gevallen dezelfde zou zijn en er zou geen reden voorhanden zijn, in beide gevallen dezelfde soort tekenverbinding te benutten. (Kort, voor de invoering van de oertekens geldt, mutatis mutandis, hetzelfde, wat Frege (Grundgesetze der Arithmetik) voor de invoering van tekens door definities gezegd heeft.)
  • 5.452 De invoering van een nieuw hulpmiddel in het symbolisme van de logica moet steeds een gebeurtenis met vele gevolgen zijn. Geen nieuw hulpmiddel mag in de logica – zogezegd, met een heel onschuldig gezicht – tussen haakjes of onder de streep ingevoerd worden. (Zo komen in de Principia Mathematica van Russell en Whitehead definities en grondwetten in woorden voor. Waarom hier plotseling woorden? Dit zou een rechtvaardiging moeten hebben. Zij ontbreekt en moet ontbreken, daar de handelswijze inderdaad ongeoorloofd is.) Heeft de invoering van een nieuw hulpmiddel op een bepaalde plaats zich echter als nodig bewezen, dan moet men zich nu onmiddellijk afvragen: Waar moet dit hulpmiddel nu altijd aangewend worden? Zijn positie in de logica moet nu duidelijk worden gemaakt.
  • 5.453 Alle getallen van de logica moeten zich laten rechtvaardigen. Of veeleer: Het moet blijken, dat er in de logica geen getallen zijn. Er zijn geen buitengewone getallen.
  • 5.454 In de logica is er geen naast-elkaar, kan er geen classificatie zijn. In de logica kunnen er geen algemenere en specialere dingen zijn.
    • 5.4541 De oplossingen van logische problemen moeten eenvoudig zijn, want zij stellen de standaard van eenvoud. De mensen hebben altijd vermoed, dat er een gebied van vragen moet zijn, waarvan de antwoorden – a priori – symmetrisch, en tot een afgesloten, regelmatig patroon bijeen liggen. Een gebied, waar de zin geldt: simplex sigillum veri.
• 5.46 Wanneer men de logische tekens juist zou invoeren, dan zou men daarmee ook al de betekenis van al hun combinaties hebben ingevoerd; dus niet slechts ‘p _ q’, maar ook al ‘_ (p_ _ q)’ etc. etc. Men zou daarmee ook al de werking van alle mogelijke combinaties van haakjes hebben ingevoerd. En daarmee zou het helder zijn geworden, dat de eigenlijke algemene oertekens niet de ‘p_q’, ‘(9x).fx’, etc. zijn, maar de algemeenste vorm van hun combinaties.
  • 5.461 Betekenisvol is het schijnbaar onbelangrijke feit, dat de logische schijnbetrekkingen, zoals _ en _, haakjes nodig hebben – in tegenstelling tot de werkelijke betrekkingen. Het gebruik van haakjes met deze schijnbare oertekens wijst er immers al op, dat deze niet werkelijk oertekens zijn. En er zal toch zeker niemand geloven, dat de haakjes een zelfstandige beduiding hebben.
    • 5.4611 De logische operatietekens zijn interpuncties.
• 5.47 Het is duidelijk, dat alles, wat zich bij voorbaat over de vorm van alle zinnen laat zeggen, zich tegelijkertijd moet laten zeggen. Immers zijn in de elementaire zin al alle logische operaties bevat. Want ‘fa’ zegt hetzelfde als ‘(9x).fx.x = a’. Waar samengesteldheid is, daar is argument en functie, en waar deze zijn, zijn reeds alle logische constanten. Men zou kunnen zeggen: De Ene logische constante is dat, wat alle zinnen, naar hun aard, met elkaar gemeen hebben. Dat echter is de algemene zinsvorm.
  • 5.471 De algemene zinsvorm is het wezen van de zin.
    • 5.4711 Het wezen van de zin aangeven, betekent, het wezen van alle beschrijving aangeven, dus het wezen van de wereld.
    • 5.472 De beschrijving van de algemeenste zinsvorm is de beschrijving van het ene en enige algemene oerteken van de logica.
    • 5.473 De logica moet voor zichzelf zorgen. Een mogelijk teken moet ook kunnen aanduiden. Alles wat in de logica mogelijk is, is ook geoorloofd. (‘Socrates is identiek’ betekent daarom niets, omdat er geen eigenschap is, die ‘identiek’ heet. De zin is onzinnig, omdat wij een willekeurige bepaling niet gemaakt hebben, maar niet daarom, omdat het symbool op en voor zichzelf ongeoorloofd zou zijn.) Wij kunnen ons, in zekere zin, niet in de logica vergissen.
      • 5.4731 Het duidelijk worden, waar Russell zoveel over sprak, kan slechts daardoor in de logica worden gemist, doordat de taal zelf elke logische fout verhindert. – Dat de logica a priori is, bestaat daarin, dat niet onlogisch gedacht worden kan.
      • 5.4732 Wij kunnen een teken niet de verkeerde betekenis geven.
        • 5.47321 Ockham’s devies is natuurlijk niet een willekeurige, of door haar praktische succes gerechtvaardigde regel: Zij geeft te kennen dat onnodige tekeneenheden niets beduiden. Tekens, die ´e´en doel vervullen, zijn logisch equivalent, tekens, die geen doel vervullen, logisch beduidingsloos.
      • 5.4733 Frege zegt: Elke rechtmatig gevormde zin moet een betekenis hebben; en ik zeg: Elke mogelijke zin is rechtmatig gevormd, en indien hij geen betekenis heeft, dan kan dat slechts daaraan liggen, dat wij enkele van zijn bestanddelen geen beduiding hebben gegeven. (Ook al geloven we, het gedaan te hebben.) Zo zegt ‘Socrates is identiek’ daarom niets, omdat wij het woord ‘identiek’ als eigenschapswoord geen beduiding gegeven hebben. Want, wanneer het als gelijkheidsteken optreedt, dan symboliseert het op totaal andere wijze – de aanduidende betrekking is een andere, – dus is ook het symbool in beide gevallen totaal verschillend; de beide symbolen hebben slechts het teken toevallig met elkander gemeen.
    • 5.474 Het aantal nodige grondoperaties hangt alleen van onze notatie af.
    • 5.475 Het komt slechts daarop aan, een tekensysteem van een bepaald aantal dimensies – van een bepaalde mathematische menigvuldigheid – te bouwen.
    • 5.476 Het is duidelijk, dat het hier niet om een aantal grondbegrippen gaat, die aangeduid moeten worden, maar om de uitdrukking van een regel.

 

 

,

5.5 Elke waarheidsfunctie is een resultaat van de successieve toepassing van de operatie (− − −W)(_, . . .) op elementaire zinnen.

• • • • Deze operatie ontkent alle zinnen tussen de rechter haakjes, en ik noem haar de negatie van deze zinnen.
  • 5.501 Een uitdrukking tussen haakjes, waarvan de termen zinnen zijn, duid ik – wanneer de volgorde van de termen tussen de haakjes er niet toe doet – door een teken van de vorm ‘(¯_)’ aan. ‘_’ is een variabele, waarvan de waarden de termen in de uitdrukking tussen haakjes zijn; en de streep boven de variabale duidt aan, dat ze al haar waarden tussen de haakjes vertegenwoordigt. (Heeft dus _ bijvoorbeeld de 3 waarden P, Q,R, dan is (¯_) = (P, Q,R).) De waarden van de variabelen worden vastgezet. De vastzetting is de beschrijving van de zinnen, die de variabale vertegenwoordigt. Hoe de beschrijving van de termen van de uitdrukking tussen haakjes geschiedt, is onwezenlijk.
    • Wij kunnen drie soorten beschrijving onderscheiden:
      • 1. De directe opsomming. In dit geval kunnen wij in plaats van de variabelen eenvoudig hun constante waarden zetten.
      • 2. Het geven van een functie fx, waarvan de waarden voor alle waarden van x de te beschrijven zinnen zijn.
      • 3. Het geven van een formele wet, naar welke deze zinnen gevormd zijn. In dit geval zijn de termen in de uitdrukking tussen haakjes de gezamenlijke leden van een vormenreeks.
  • 5.502 Ik schrijf dus in plaats van ‘(− − −W)(_, . . .)’ ‘N(¯_)’. N(¯_) is de negatie van alle waarden van de zinsvariabele _.
  • 5.503 Aangezien het zich kennelijk gemakkelijk laat uitdrukken, hoe met deze operatie zinnen gevormd kunnen worden en hoe zinnen met haar niet te vormen zijn, dan moet dit ook een exacte uitdrukking kunnen vinden.
• 5.51 Heeft _ slechts ´e´en waarde, dan is N(¯_) = _ p (niet p), heeft hij twee waarden, dan is N(¯_) = _ p. _ q (noch p noch q).
  • 5.511 Hoe kan de alomvattende, wereldspiegelende logica zulke speciale haakjes en manipulaties nodig hebben? Slechts indien deze zich alle tot een oneindig fijn netwerk, tot de grote spiegel, verbinden.
  • 5.512 ‘_ p’ is waar, wanneer ‘p’ onwaar is. Dus in de ware zin ‘_ p’ is ‘p’ een onware zin. Hoe kan de streep ‘_’ hem nu in overeenstemming met de werkelijkheid brengen? Dat, wat in ‘_ p’ ontkent, is echter niet het ‘_’, maar datgene, wat alle tekens van deze notatie, die p ontkennen, gemeenzaam is. Dus de gemeenschappelijke regel, naar welke ‘_ p’, ‘___ p’, ‘_ p_ _ p’, ‘_ p. _ p’, etc. etc (ad inf.) gevormd worden. En dit gemeenschappelijke weerspiegelt de ontkenning.
  • 5.513 Men zou kunnen zeggen: Het gemeenschappelijke van alle symbolen, die zowel p als q bevestigen, is de zin ‘p.q’. Het gemeenschappelijke van alle symbolen, die of p of q bevestigen, is de zin ‘p _ q’. En zo kan men zeggen: Twee zinnen zijn elkaar tegengesteld, wanneer ze niets met elkaar gemeen hebben, en: Elke zin heeft slechts ´e´en negatief, omdat er slechts ´e´en zin is, die volledig buiten hem ligt. Het toont zich zo ook in Russells notatie, dat ‘q : p_ _ p’ hetzelfde zegt als ‘q’; dat ‘p_ _ p’ niets zegt.
  • 5.514 Is een notatie vastgelegd, dan bestaat er in haar een regel, waarnaar alle p ontkennende zinnen gevormd worden, een regel, waarnaar alle p bevestigende zinnen gevormd worden, een regel, waarnaar alle p of q bevestigende zinnen gevormd worden, enz. Deze regels zijn aan de symbolen equivalent en in hen weerspiegelt zich ook hun betekenis.
  • 5.515 Het moet door onze notatie getoond worden, dat dat, wat door ‘lor’, ‘.’, etc. met elkander verbonden is, zinnen moeten zijn. En dit is ook het geval, want het symbool ‘p’ en ‘q’ versonderstelt zelf immers de ‘_’, ‘_’, etc. Wanneer het teken ‘p’ in ‘p _ q’ niet voor een complex teken staat, dan kan het op zichzelf geen betekenis hebben; dan kunnen echter ook de tekens die hetzelfde betekenen als p: ‘p _ p’, ‘p.p’, etc. geen betekenis hebben. Wanneer echter ‘p _ p’ geen betekenis heeft, dan kan ook ‘p _ q’ geen betekenis hebben.
    • 5.5151 Moet het teken van de negatieve zin uit het teken van de positieve gevorm worden? Waarom zou men de negatieve zin niet door een negatief feit kunnen uitdrukken. (Zoiets als: Wanneer ‘a’ niet een bepaalde betrekking tot ‘b’ staat, zou dat kunnen uitdrukken, dat aRb niet het geval is.) Maar ook hier wordt immers de negatieve zin indirect uit de positieve gevormd. De positieve zin moet het bestaan van de negatieve zin vooronderstellen en omgekeerd.
• 5.52 Zijn de waarden van _ de gezamenlijke waarden van een functie fx voor alle waarden van x, dan wordt N(¯_) = _ (9x).fx.
  • 5.521 Ik scheid het begrip alle van de waarheidsfunctie. Frege en Russell hebben de generalisatie in verbinding met het logische product of de logische som ingevoerd. Zo werd het lastig, de zinnen ‘(9x).fx’ en ‘(x).fx’, in welke beide idee¨en besloten liggen, te begrijpen.
  • 5.522 Het kenmerkende van de kwantor is ten eerste, dat zij naar een logisch oerbeeld verwijst, en ten tweede, dat zij constanten op de voorgrond plaatst.
  • 5.523 De kwantor treedt als argument op.
  • 5.524 Wanneer de voorwerpen gegeven zijn, dan zijn ons daarmee ook reeds alle voorwerpen gegeven. Wanneer de elementaire zinnen gegeven zijn, dan zijn daarmee ook alle elementaire zinnen gegeven.
  • 5.525 Het is onjuist, de zin ‘(9x).fx’ – zoals Russell dat doet – in woorden door ‘fx is mogelijk ’ weer te geven. Zekerheid, mogelijkheid of onmogelijkheid van een situatie wordt niet door een zin uitgedrukt, maar daardoor, dat een uitdrukking een tautologie, een betekenisvolle zin, of een contradictie is. Dat precendent, waarop men zich steeds zou willen beroepen, moet reeds in het symbool zelf liggen.
  • 5.526 Men kan de wereld volledig door volkomen gegeneraliseerde zinnen beschrijven, dat betekent dus, zonder welke naam dan ook van te voren aan een bepaald voorwerp toe te wijzen. Om dan tot de gewone uitdrukkingswijze te komen, moet men simpelweg na een uitdrukking ‘er is ´e´en en slechts ´e´en x, welke . . . ’ zeggen: En deze x is a.
    • 5.5261 Een volkomen gegeneraliseerde zin is, net als elke andere zin samengesteld. (Dit toont zich daarin, dat wij in ‘(9x, _)._x’ ‘_’ en ‘x’ gescheiden moeten vermelden. Beide staan onafhankelijk in aanduidende betrekkingen tot de wereld, zoals in een niet-gegeneraliseerde zin.) Kenmerk van het samengestelde symbool: Het heeft iets met andere symbolen gemeen.
    • 5.5262 Immers verandert de waar– of onwaarheid van elke zin iets aan de algemene bouw van de wereld. En de speelruimte, welke haar bouw door het geheel van elementaire zinnen gelaten wordt, is precies diegene, welke de geheel algemene zinnen begrenzen. (Wanneer een elementaire zin waar is, dan is daarmee toch tenminste een elementaire zin meer waar.)
• 5.53 Gelijkheid van voorwerpen druk ik door gelijkheid der tekens uit, en niet met behulp van een gelijkheidsteken. Verscheidenheid van voorwerpen door verscheidenheid van tekens.
  • • 5.5301 Dat de identiteit geen relatie tussen voorwerpen is, is duidelijk. Dit wordt zeer helder, wanneer men bijvoorbeeld de zin ‘(x) : fx. _ .x = a’ beschouwt. Wat deze zin zegt, is simpelweg, dat alleen a aan de functie f voldoet, en niet, dat alleen zulke dingen aan de functie f voldoen, die een zekere betrekking tot a hebben. Men zou nu weliswaar kunnen zeggen, dat juist alleen a deze betrekking tot a heeft, maar om dit uit te drukken, zouden we het gelijkheidsteken zelf nodig hebben.
    • 5.5302 Russells definitie van ‘=’ voldoet niet; omdat men hiermee niet zeggen kan, dat twee voorwerpen alle eigenschappen gemeen hebben. (Zelfs wanneer deze zin nooit juist is, heeft hij toch betekenis.)
    • 5.5303 Terloops gesproken: Van twee dingen te zeggen, zij zijn identiek, is een onzin, en van ´e´en te zeggen, het is identiek met zichzelf, zegt helemaal niets.
  • 5.531 Ik schrijf dus niet ‘f(a, b).a = b’, maar ‘f(a, a)’ (of ‘f(b, b)’). En niet ‘f(a, b). _ a = b’, maar ‘f(a, b)’.
  • 5.532 En analoog: Niet ‘(9x, y).f (x, y).x = y’, maar ‘(9x).f (x, x)’; en niet ‘(9x, y).f (x, y). _ x = y’, maar ‘(9x, y).f (x, y)’. (Dus in plaats van Russells uitdrukking ‘(9x, y).f (x, y)’: ‘(9x, y). f(x, y). _ .(9x).f (x, x))’.)
    • 5.5321 In plaats van ‘(x) : fx _ x = a’ schrijven wij dus bijvoorbeeld ‘(9x).fx. _ .fa : _ (9x, y).f x.fy’. En de zin ‘slechts ´e´en x bevredigt f( )’ luidt: ‘(9x).fx :_ (9x, y).fx.fy’.
  • 5.533 Het gelijkheidsteken is dus geen wezenlijk bestanddeel van de formele taal.
  • 5.534 En nu zien wij, dat schijnzinnen als: ‘a = a’, ‘a = b.b = c. _ a = c’, ‘(x).x = x’, ‘(9x).x = a’, etc. zich in een juiste formele taal helemaal niet laten opschrijven.
  • 5.535 Daarmee lossen alle problemen op, die met zulke schijnzinnen verbonden waren. Alle problemen, die Russells Axiom of Infinity met zich mee brengt, zijn hier al op te lossen. Dat, wat het Axiom of Infinity zeggen moet, zou zich in de taal daardoor uitdrukken, dat er oneindig veel namen met verschillende beduiding zouden zijn.
    • 5.5351 Er zijn zekere gevallen, waarin men in de verleiding geraakt, uitdrukkingen van de vorm ‘a = a’ of ‘p _ p’ en dergelijke te benutten. En wel gebeurt dit, wanneer men over het oerbeeld: zin, ding, etc. zou willen spreken. Zo heeft Russell in de Principles of Mathematics de onzin ‘p is een zin’ in symbolen door ‘p _ p’ weergegeven en als hypothese v´o´or zekere zinnen gesteld, opdat hun argumentplaatsen slechts door zinnen bezet zouden kunnen worden. (Het is alleen daarom al onzin, de hypothese p _ p voor een zin te zetten, om voor deze argumenten van de juiste vorm zeker te stellen, omdat de hypothese voor een niet-zin als argument niet onwaar, maar onzinnig wordt, en omdat de zin zelf door de onjuiste soort argumenten onzinnig wordt, en dus zich zelf precies net zo goed, of net zo slecht, voor de onjuiste argumenten hoedt, als de voor dit doel eraan gehangen betekenisloze hypothese.)
    • 5.5352 Evenzo wilde men ‘Er zijn geen dingen’ uitdrukken door ‘_ (9x).x = x’. Maar zelfs wanneer dit een zin zou zijn, – zou hij niet ook waar zijn, wanneer er weliswaar ‘dingen zouden zijn’, maar deze niet met zichzelf identiek zouden zijn?
• 5.54 In de algemene zinsvorm komt de zin in de zin alleen als basis van de waarheidsoperaties voor.
  • 5.541 Op het eerste gezicht lijkt het, alsof een zin in een andere ook op andere manier zou kunnen voorkomen. In het bijzonder in bepaalde zinsvormen van de psychologie, zoals ‘A gelooft, dat p het geval is’, of ‘A denkt p’, etc. Hier lijkt het namelijk  oppervlakkig gezien, alsof de zin p in een bepaald soort relatie tot een ding A stond. (En in de moderne epistemologie (Russell, Moore, etc.) zijn dergelijke zinnen ook zo opgevat.)
  • 5.542 Het is echter duidelijk, dat ‘A gelooft, dat p’, ‘A denkt p’, ‘A zegt p’ van de vorm ‘ “p” zegt p’ zijn: En hier gaat het niet om een koppeling van een feit en een voorwerp, maar om de koppeling van feiten door koppeling van hun voorwerpen.
    • 5.5421 Dit toont ook, dat de ziel – het subject etc.– zoals ze in de huidige oppervlakkige psychologie wordt opgevat, een onding is. Een samengestelde ziel zou namelijk geen ziel meer zijn.
    • 5.5422 De juiste verklaring van de vorm van de zin ‘A oordeelt p’ moet tonen, dat het onmogelijk is, een onzin te oordelen. (Russels theorie voldoet niet aan deze voorwaarde.)
    • 5.5423 Een complex waarnemen, betekent, waarnemen, dat zijn bestanddelen zich zo en zo tot elkaar verhouden. Dit verklaart wellicht ook, dat men de figuur op twee manieren als kubus zien kan; en alle gelijksoortige verschijningen. Want wij zien inderdaad werkelijk twee verschillende feiten. (Kijk ik eerst naar de hoeken a en slechts vluchtig naar b, dan verschijnt a vooraan; en omgekeerd.)
• 5.55 Wij moeten nu de vraag naar alle mogelijke vormen van de elementaire zinnen a priori beantwoorden.
  • • • De elementaire zin bestaat uit namen.
        • Daar wij echter het aantal namen met verschillende beduidingen niet kunnen aangeven, kunnen wij ook niet de samenstelling van de elementaire zin aangeven.
  • 5.551 Onze grondstelling is, dat elke vraag, die zich überhaupt door de logica beslissen laat, zich zonder dat verder zaken nodig zijn moet laten beslissen. (En wanneer wij in de situatie komen, zulk een probleem door het bekijken van de wereld te moeten oplossen, dan toont dit, dat wij volledig op het verkeerde spoor zitten.)
  • 5.552 De ‘ervaring’, die wij voor het begrijpen van de logica nodig hebben, is niet die, dat iets zo en zo in elkaar steekt, echter, dat iets is: maar dat in juist geen ervaring. De logica is voor elke ervaring – dat iets zo is. Zij is voor het Hoe, niet voor het Wat.
    • 5.5521 En wanneer dit niet zo zou zijn, hoe zouden wij dan de logica kunnen gebruiken? Men zou kunnen zeggen: Wanneer er een logica was, ook als er geen wereld zijn zou, hoe zou er dan een logica kunnen zijn omdat er een wereld bestaat.
  • 5.553 Russell zei, dat er eenvoudige relaties waren tussen verschillende aantallen dingen (individuals). Maar tussen welke aantallen? En hoe moet dat beslist worden? – Door de ervaring? (Een bijzonder getal bestaat niet.)
  • 5.554 Het opgeven van elke speciale vorm zou volkomen willkeurig zijn.
    • 5.5541 Het moet a priori aan te geven zijn, of ik bijvoorbeeld in de situatie terecht kan komen, iets met het teken van een 27-plaatsige relatie te moeten aanduiden.
    • 5.5542 Mogen we eigenlijk wel op deze manier vragen? Kunnen wij een tekenvorm opstellen en niet weten, of er iets aan haar zou kunnen beantwoorden? Heeft de vraag een betekenis: Wat moet zijn, opdat iets het-geval-zijn kan?
  • 5.555 Het is duidelijk, wij hebben van de elementaire zin een begrip, afgezien van zijn bijzondere logische vorm. Waar men echter symbolen naar een systeem kan vormen, daar is dit systeem het logisch belangrijke en niet de afzonderlijke symbolen. En hoe zou het ook mogelijk zijn, dat ik in de logica met vormen te maken had, die ik kan uitvinden; maar met dat moet ik te maken hebben, wat het mij mogelijk maakt, ze uit te vinden.
  • 5.556 Een hiërarchie van vormen van elementaire zinnen kan niet bestaan. Slechts wat wij zelf construeren, kunnen wij voorzien.
    • 5.5561 De empirische realiteit is begrensd door het geheel der voorwerpen. De grens toont zich opnieuw in het geheel der elementaire zinnen. De hiërarchieën zijn en moeten onafhankelijk van de realiteit zijn.
    • 5.5562 Weten wij op zuiver logische gronden, dat er elementaire zinnen moeten zijn, dan moet eenieder dat weten, die de zinnen in hun on-geanalyseerde vorm begrijpt.
    • 5.5563 Alle zinnen van onze omgangstaal zijn daadwerkelijk, zo als zij zijn, logisch volkomen geordend. – Dit eenvoudigste, dat wij hier moeten aangeven, is niet een gelijkenis met de waarheid, maar de volle waarheid zelf. (Onze problemen zijn niet abstract, maar misschien de meest concrete, die er zijn.)
  • 5.557 Het gebruik van de logica beslist erover, welke elementaire zinnen er zijn. Wat in het gebruik ligt, kan de logica niet als uitgangspunt stellen. Dat is helder: De logica mag met haar gebruik niet botsen. Maar de logica moet in contact zijn met haar gebruik. Aldus mogen de logica en haar gebruik geen inbreuk maken op elkaar.
    • 5.5571 Wanneer ik de elementaire zinnen niet a priori kan aangeven, dan moet het tot overduidelijke onzin leiden, ze aan te willen geven.

 

 

.

5.6 De grenzen van mijn taal beduiden de grenzen van mijn wereld.

• 5.61 De logica vult de wereld; de grenzen van de wereld zijn ook haar grenzen.
  • Wij kunnen dus in de logica niet zeggen: Dat en dat is in de wereld, dat andere niet. Dat zou namelijk schijnbaar veronderstellen, dat wij zekere mogelijkheden uitsluiten en dit kan niet het geval zijn, omdat de logica anders de grenzen van de wereld te buiten zou moeten; wanneer zij namelijk deze grenzen ook vanaf de andere kant zou kunnen beschouwen. Wat wij niet denken kunnen, dat kunnen wij niet denken; we kunnen dus ook niet zeggen, wat wij niet denken kunnen.
• 5.62 Deze opmerking geeft de sleutel tot het beslissen van de vraag, in hoeverre het solipsisme een waarheid is. Wat het solipsisme namelijk bedoelt, is geheel waar, alleen laat het zich niet zeggen, maar het toont zich. Dat de wereld mijn wereld is, dat toont zich daarin, dat de grenzen van de taal (de taal, die alleen ik begrijp) de grenzen van mijn wereld beduiden.
  • 5.621 De wereld en het leven zijn één.
• 5.63 Ik ben mijn wereld. (De microkosmos.)
  • 5.631 Het denkende, voorstellende, subject bestaat niet. Wanneer ik een boek zou schrijven De wereld, zoals ik haar aantrof, dan zou ik daarin ook over mijn leven moeten berichten en zeggen, welke ledematen onder mijn wil staan en welke niet, etc., dit is namelijk een methode, om het subject te isoleren, of veeleer te tonen, dat er in een belangrijke zin geen subject bestaat: Van hem alleen namelijk zou er in dit boek geen sprake kunnen zijn.–
  • 5.632 Het subject behoort niet tot de wereld, maar het is een grens van de wereld.
  • 5.633 Waar in de wereld is een metafysisch subject op te merken? Jij zegt, het staat hier net zo, als met oog en gezichtsveld. Maar het oog zie je werkelijk niet. En niets in het gezichtsveld laat ertoe concluderen, dat het door een oog gezien wordt.
    • 5.6331 Het gezichtsveld heeft namelijk niet ongeveer de volgende vorm:
  • 5.634 Dat hangt daarmee samen dat geen deel van onze ervaring ook a priori is. Alles, wat wij zien, zou ook anders kunnen zijn. Alles, wat wij überhaupt beschrijven kunnen, zou ook anders kunnen zijn. Er is geen ordening van de dingen a priori.
• 5.64 Hier ziet men, dat het solipsisme, streng doorgevoerd, met het zuivere realisme samenvalt. Het Ik van het solipsisme schrompelt tot uitgebreidheidsloos punt ineen, en de met hem gecoördineerde realiteit blijft over.
  • 5.641 Er is dus werkelijk een manier, waarop in de filosofie niet-psychologisch van het Ik sprake kan zijn. Het Ik komt de filosofie daardoor binnen, dat de ‘wereld mijn wereld is’. Het filosofische Ik is niet de mens, niet het menselijke lichaam, of de menselijke ziel, waarover de psychologie handelt, maar het metafysische subject, de grens – niet een deel van de wereld.